Czworokąty (Sprawdzian)

SI: Claude Sonnet 4.6

---

Zestaw 1

---

Zad. 1 (4 pkt.)

Równoległobok o kącie rozwartym 120°, boki różnią się o 1 cm, krótsza przekątna = √31 cm. Wyznacz długości boków.

Niech krótszy bok = $a$, dłuższy bok = $b=a+1$.

Kąt rozwarty to 120°, więc kąt przy krótszej przekątnej wynosi 60° (przekątna leży naprzeciwko kąta 60°).

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta utworzonego przez przekątną:

$d^2=a^2+b^2-2ab\cos (60°)$

$31=a^2+(a+1{)}^2-2a(a+1)\cdot \frac{1}{2}$

$31=a^2+a^2+2a+1-a(a+1)$

$31=2a^2+2a+1-a^2-a$

$31=a^2+a+1$

$a^2+a-30=0$

$\Delta =1+120=121,\sqrt{\Delta }=11$

$a=\frac{-1+11}{2}=5$

✅ Krótszy bok = 5 cm, dłuższy bok = 6 cm

---

Zad. 2 (3 pkt.)

Trapez prostokątny: krótsza podstawa = 3 cm, dłuższe ramię = 4 cm, jeden kąt = 120°. Wyznacz krótszą przekątną.

Trapez prostokątny ma jeden kąt prosty (90°). Kąt 120° to kąt przy dłuższym ramieniu (przy dłuższej podstawie).

Oznaczmy: $AB$ = krótsza podstawa = 3 cm, $BC$ = dłuższe ramię = 4 cm, kąt $\angle ABC=120°$.

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla przekątnej $AC$:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (120°)$

$A{C}^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$A{C}^2=25+12=37$

$AC=\sqrt{37}\text{ cm}$

✅ Krótsza przekątna = $\sqrt{37}$ cm ≈ 6,08 cm

---

Zad. 3 (3 pkt.)

Prostokąt: obwód = 142 cm, przekątna jest o 1 cm dłuższa od dłuższego boku. Oblicz boki.

Niech $a$ = krótszy bok, $b$ = dłuższy bok.

Równanie 1 (obwód): $2(a+b)=142⟹a+b=71$

Równanie 2 (przekątna): $d=b+1$

Z twierdzenia Pitagorasa: $a^2+b^2=d^2=(b+1{)}^2$

$a^2+b^2=b^2+2b+1$

$a^2=2b+1$

Z równania 1: $a=71-b$, podstawiamy:

$(71-b{)}^2=2b+1$

$5041-142b+b^2=2b+1$

$b^2-144b+5040=0$

$\Delta =144^2-4\cdot 5040=20736-20160=576,\sqrt{\Delta }=24$

$b=\frac{144+24}{2}=84\text{lub}b=\frac{144-24}{2}=60$

Dla $b=60$: $a=71-60=11$ ✓ (a < b, więc OK)
Dla $b=84$: $a=71-84<0$ ✗

✅ Boki prostokąta: 11 cm i 60 cm

---

Zad. 4 (2 pkt.)

Kąty czworokąta: $x$, $4x-10°$, $27°$, $3x-30°$. Podaj miarę największego kąta.

Suma kątów czworokąta = 360°:

$x+(4x-10°)+27°+(3x-30°)=360°$

$8x-13°=360°$

$8x=373°$

$x=46,625°\approx 46,6°$

Obliczamy wszystkie kąty:

• $x=46,6°$
• $4x-10°=186,5°-10°=176,5°$
• $27°$
• $3x-30°=139,9°-30°=109,9°$

✅ Największy kąt ≈ 176,5°

---

Zad. 5 (1 pkt.)

Prostokąt: przekątna = 10, boki różnią się o 2. Obwód = ?

Niech boki to $a$ i $b=a+2$.

Z Pitagorasa: $a^2+(a+2{)}^2=100$

$2a^2+4a+4=100$

$a^2+2a-48=0$

$\Delta =4+192=196,\sqrt{\Delta }=14$

$a=\frac{-2+14}{2}=6,b=8$

Obwód: $2(6+8)=2\cdot 14=28$

✅ Odpowiedź: A. 28

---

Zestaw 2

---

Zad. 1 (2 pkt.)

Równoległobok: boki 15 cm i 9 cm, jedna wysokość = 10 cm. Oblicz drugą wysokość.

Pole równoległoboku można wyrazić na dwa sposoby:

$P=a\cdot h_a=b\cdot h_b$

$15\cdot 10=9\cdot h_b$

$h_b=\frac{150}{9}=\frac{50}{3}\approx 16,\overline{6}\text{ cm}$

✅ Druga wysokość = $\frac{50}{3}$ cm ≈ 16,7 cm

---

Zad. 2 (3 pkt.)

Równoległobok: dłuższy bok = 16, krótsza przekątna = 14, kąt rozwarty = 120°. Oblicz pole.

Kąt rozwarty 120° → kąt przy krótszej przekątnej = 60°.

Z twierdzenia cosinusów (trójkąt z bokami $a$, $b=16$ i przekątną $d=14$, kąt między bokami = 60°):

$d^2=a^2+b^2-2ab\cos (60°)$

$196=a^2+256-2\cdot a\cdot 16\cdot \frac{1}{2}$

$196=a^2+256-16a$

$a^2-16a+60=0$

$\Delta =256-240=16,\sqrt{\Delta }=4$

$a=\frac{16\pm 4}{2}⟹a=10\text{lub}a=6$

Ponieważ $b=16$ jest dłuższym bokiem, krótszy bok $a=6$.

Pole równoległoboku (kąt ostry = 60°):

$P=a\cdot b\cdot \sin (60°)=6\cdot 16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=48\sqrt{3}$

✅ Pole = $48\sqrt{3}$ cm² ≈ 83,1 cm²

---

Zad. 3 (2 pkt.)

Trapez: krótsza podstawa = $3\sqrt{6}$, kąty przy niej = 135° i 60°, dłuższe ramię = 18. Oblicz pole.

Kąty przy krótszej podstawie $AB$: $\angle A=135°$, $\angle B=60°$.

Opuszczamy wysokości z końców $AB$ na dłuższą podstawę $CD$.

Z lewej strony (kąt 135°): kąt wewnętrzny trójkąta = 180° − 135° = 45°

Wysokość $h$ z końca $A$: $\tan (45°)=\frac{h}{x_1}⟹x_1=h$

Z prawej strony (kąt 60°): $\tan (60°)=\frac{h}{x_2}⟹x_2=\frac{h}{\sqrt{3}}$

Ramię przy kącie 60° to dłuższe ramię = 18: $\frac{h}{\sin (60°)}=18⟹h=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$

Stąd: $x_1=9\sqrt{3},x_2=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=9$

Dłuższa podstawa: $CD=AB+x_1+x_2=3\sqrt{6}+9\sqrt{3}+9$

Pole trapezu: $P=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot h=\frac{(3\sqrt{6}+3\sqrt{6}+9\sqrt{3}+9)}{2}\cdot 9\sqrt{3}$

$P=\frac{6\sqrt{6}+9\sqrt{3}+9}{2}\cdot 9\sqrt{3}$

$P=\frac{9\sqrt{3}}{2}(6\sqrt{6}+9\sqrt{3}+9)$

$P=\frac{9\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{6}+9\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{3}+9\sqrt{3}\cdot 9}{2}$

$P=\frac{54\sqrt{18}+81\cdot 3+81\sqrt{3}}{2}=\frac{162\sqrt{2}+243+81\sqrt{3}}{2}$

✅ Pole = $\frac{162\sqrt{2}+81\sqrt{3}+243}{2}$ cm²

---

Zad. 4 (2 pkt.)

Romb: bok = 3, $\cos (\text{kąt ostrego})=\frac{1}{3}$.

a) Krótsza przekątna

Kąt ostry $\alpha$: $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, więc $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Przekątna krótsza $d_1$ leży naprzeciwko kąta ostrego. Połówka przekątnej:

$\frac{d_1}{2}=a\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$

Korzystamy ze wzoru: $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{d_1}{2}=3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

$d_1=2\sqrt{3}$

✅ Krótsza przekątna = $2\sqrt{3}$ cm

b) Pole rombu

Najpierw dłuższa przekątna: $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\frac{d_2}{2}=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}⟹d_2=2\sqrt{6}$

$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$

Lub prościej: $P=a^2\cdot \sin \alpha =9\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=6\sqrt{2}$

✅ Pole rombu = $6\sqrt{2}$ cm² ≈ 8,49 cm²

---

Zad. 5 (2 pkt.)

Równoległobok: boki 5 i 8, kąt ostry = 60°. Wyznacz dłuższą przekątną.

Dłuższa przekątna leży naprzeciwko kąta rozwartego = 180° − 60° = 120°.

Z twierdzenia cosinusów:

$d^2=a^2+b^2-2ab\cos (120°)$

$d^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$d^2=89+40=129$

$d=\sqrt{129}$

✅ Dłuższa przekątna = $\sqrt{129}$ cm ≈ 11,36 cm

---

Zad. 6 (2 pkt.)

Równoległobok $ABCD$: $AB=6$, kąt $DAB=45°$, wysokość $DE=4$. Oblicz $AD$ oraz przekątne $AC$ i $BD$.

Bok AD

Z definicji wysokości (prostopadle do $AB$):

$\sin (45°)=\frac{DE}{AD}⟹AD=\frac{4}{\sin (45°)}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$

✅ $AD=4\sqrt{2}$ cm

Przekątna AC (naprzeciwko kąta ostrego 45°)

$A{C}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos (45°)$

$A{C}^2=36+32-2\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A{C}^2=68-2\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=68-48=20$

$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Przekątna BD (naprzeciwko kąta rozwartego 135°)

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos (135°)$

$B{D}^2=36+32-2\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$B{D}^2=68+48=116$

$BD=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$

✅ $AC=2\sqrt{5}$ cm ≈ 4,47 cm, $BD=2\sqrt{29}$ cm ≈ 10,77 cm

---

Przegląd wzorów

---

Zestaw 1

• Zad. 1, 2 → Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$
• Zad. 3 → Twierdzenie Pitagorasa + układ równań z obwodem
• Zad. 4 → Suma kątów czworokąta = 360°
• Zad. 5 → Twierdzenie Pitagorasa + obwód prostokąta = $2(a+b)$

---

Zestaw 2

• Zad. 1 → Pole równoległoboku dwoma sposobami: $P=a\cdot h_a=b\cdot h_b$
• Zad. 2 → Twierdzenie cosinusów + pole: $P=ab\sin \alpha$
• Zad. 3 → Trygonometria w trójkącie ($\tan$, $\sin$) + pole trapezu: $P=\frac{(a+b)}{2}\cdot h$
• Zad. 4 → Wzory na połówki przekątnych rombu: $\frac{d}{2}=a\sin \frac{\alpha }{2}$ oraz pole: $P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ (albo krócej $P=a^2\sin \alpha$)
• Zad. 5 → Twierdzenie cosinusów (kąt rozwarty = 180° − kąt ostry)
• Zad. 6 → $\sin \alpha =\frac{h}{a}$ (definicja wysokości) + twierdzenie cosinusów dla obu przekątnych